수준측량 실험 이론
삼각측량
서로 멀리 떨어진 각각의 지점에서 각도를 관측하여 각각의 위치 관계를 수치적(數値的)으로 정하는 하나의 측량방법이다. 각 지점을 꼭짓점으로 하는 1개 또는 여러 개의 삼각점을 정하고, 이것들의 각 꼭짓점을 관측하여 삼각법에 의해 각 각(角)과 각 변의 관계를 구하는 것에서 이런 이름이 붙었으며, 각 꼭짓점을 특히 삼각점이라 한다. 삼각측량은 넓은 지역에서 기준점을 배포하기 위한 기준점측량에 가장 적당하다.
각 지점을 꼭지점으로 하는 1개 또는 여러 개의 삼각점을 정하고, 이것들의 각 꼭짓점을 관측하여 삼각법에 의해 각 각(角)과 각 변의 관계를 구하는 것에서 이런 이름이 붙었으며, 각 꼭짓점을 특히 삼각점이라 한다. 모든 삼각형의 각 꼭짓점을 측정하면 각 변의 길이의 비는 얻어지지만, 이것들의 실제길이는 적어도 1개의 임의의 변의 길이(1개의 인접 삼각점 사이의 거리)가 정해져야 확정된다. 그러므로 삼각측량은 실제로는 단독으로 실시되고, 미리 적어도 1개의 기지변, 즉 기선(基線)이 정해져 있어야만 되지만, 어떤 때는 그 길이를 측정하는 기선측량이 실시되어야만 되는 경우도 있다. 관측각이 수평각인 경우는 물론 연직각(鉛直角)인 경우도 성립이 되지만, 보통 삼각측량에서는 수평각을 쓰는 경우가 많다.
삼각측량의 특징은 몇 개의 기선만 있으면 삼각점수가 대개 각 관측하는 곳에서부터 그 실제척도로 나타나는 상대위치가 얻어지며, 또한 인접 삼각점 사이를 볼 수만 있다면 중간지형에는 거의 영향을 미치지 않는다는 점이다. 삼각측량은 넓은 지역에서 기준점을 배포하기 위한 기준점측량에 가장 적당하다. 삼각측량이 기준점측량 등에 이용되는 경우, 많은 삼각점의 배치와 이것들로부터 생기는 일군(一群)의 삼각형 모양은 측량목적, 지역의 형상 등에 따라 달라지지만, 삼각형의 연결형식에 따라 삼각망과 삼각사슬[三角鎖]로 크게 구분된다.
최소자승법
1. 최소자승법이 필요한 이유?
일반적으로 어떤 실험을 행할 때, 변량 x (독립변수 Independent Variable)를 변경해가며, 그에 따른 실험값 y (종속변수 Dependent Variable)의 쌍 (x, y)을 얻는다. 실험을 N회 반복하여 (x1, y1), (x2, y2),... (xn, yn)의 데이터를 확보했다고 하자. 이 수많은 데이터들이 일정한 규칙성을 갖지 못한다면, 이 실험은 아무런 의미를 갖지 못한다. 따라서, 데이터들의 유용성을 판단하기 위해서 가장 먼저 해야 할 작업은, 두 변수 간에 상관관계가 있는지, 만약 있다면 어떤 상관관계를 갖고 있는지 찾아보는 것이다. 상관관계를 함수로 표현할 수 있다면, "이 실험에서 나온 데이터를 분석했더니 이런 규칙이 있더라."라고 말할 수 있으며, 여기서 하나의 공식이 탄생하는 것이다. 최소자승법이란, 이 상관관계를 나타내는 함수 y=f(x)를 찾는 하나의 도구라고 할 수 있다.
2. 최소자승법 (Method of Least Squares) 이란?
N회 측정한 측정값 y1,y2,...,yn이 어떤 다른 측정값 x1, x2,... xn의 함수라고 추정할 수 있을 때, 측정값 yi와 함숫값 f(xi)의 차이를 제곱한 것의 합이 최소가 되도록 하는 함수 f(x)를 구하는 것이 최소자승법의 원리이다. 이렇게 해서 구해진 함수 y=f(x)는 이 측정값들의 관계에 가장 적합한 함수라고 할 수 있다. 이해를 돕기 위해 다음의 그림을 살펴보자. 다음의 그림에서 표시된 각 점들은 측정값 (xi, yi)이고, 직선 (xi, f(xi))은 최소자승법을 사용해 구한, 측정값들의 분포를 가장 잘 나타내는 일차함수이다. 즉, 이 함수는 (측정값-함숫값) ²의 총합(오차의 총합)이 최소가 되는 직선이라고 할 수 있다.
최소자승법의 수학적 이해
1) 최적 함수 y=a+bx 유도
본격적으로 최소자승법을 사용하여 최적의 함수를 유도해보자.여기서는 가장 간단한 일차함수의 예를 들어 최소자승법의 수학적 개념을 설명하고자 한다. 그리고, 이 개념 및 수식을 활용하여, 엑셀을 사용한 다량의 데이터 처리방법을 익혀보자.
위의 그림에서 각 데이터 좌표에서 최적 함수까지의 거리를 고려해보자.이 직선이 최적의 함수라면, 이 차이가 가능한 한 최소의 값을 가질 것이다. 최소자승법은 이 편차의 제곱을 최소화하기 위한 방법이다.(이 편차를 그대로 더하면 양의 값과 음의 값의 합이 되기 때문에 적합한 결과를 얻지 못한다. 또한 절댓값을 사용할 경우, 추후 미분계수 계산 시 문제가 발생할 수 있다.) 편차 제곱의 총합 χ² 를 오차(Residual)라고 하며, 다음과 같이 표현할 수 있다.
만약 데이터가 선형적인 관계라면, ytrue는 보통 ytrue=a+bx 로 표현할 수 있고, 오차는 다음과 같다.
여기서, ytrue=a+bx 는 직선 방정식의 일반적인 형태일 뿐, a와 b는 아직 정의되지 않음에 주의한다. 데이터에 적합한 직선을 찾기 위해서는 이 오차를 최대한 줄여야 한다. 즉, a와 b는 χ² 를 최소화하는 값이 되어야 한다. 오차의 제곱(自乘, square)의 총합을 최소화(least)하는 방법(method)이라의 의미에서 최소자승법(Method of least squares)의 명칭이 나온 것이다. 간단히 a, b를 구해보도록 하자. (대부분의 통계학 서적에 자세히 설명하고 있으니 참고하도록 한다) 오차를 최소화하기 위한 a, b를 구하기 위해서는, a, b 대해 각각 편미분 한 값이 0 이 되면 된다. 즉,
을 만족하는 a,b를 계산하면 최종 결과는 다음과 같다.
2) 변수 x,y,a,b 의 표준편차
독립변수 x 의 평균값을 이용한 표준편차 σx의 공식은 다음과 같다.
종속변수 y 에 대한 표준편차 σy는 σx와는 다소 다르게 계산한다. 종속변수가 독립변수에 따라 선형적으로 변하면, 종속변수의 표준편차는 다음의 식을 따른다.
합계항 앞의 인자 1/(N-1)과 1/(N-2)의 차이에 대한 설명은 통계학 서적을 참고한다. a, b의 표준편차는 종속변수 σy의 표준편차로부터 유도되며, 다음과 같다.
참고:여기서 말하는 표준편차는 실험 레포트 작성 시 사용하는 표준오차 및 확률오차와 다소 차이가 있으니 주의하도록 한다.
3) r²계산
두 데이터 집합 간의 상관 관계를 조사할 때, 그 관계를 표현하는 함수뿐만이 아니라, 그 함수가 얼마나 상관관계를 잘 표현하고 있는지 나타내는 기준이 필요하다. 대부분의 선형 회귀 프로그램에서는 기울기 b와 y-절편 a의 적합성을, 단순히 좋고 나쁨이 아닌 r이라고 하는 상관계수를 사용하여 수치적인 의미로 표현해 준다. 상관계수 r 은 0과 1 사이의 값을 가진다. 모든 데이터가 직선과 정확히 일치할 경우 r=1 이 된다. 일치하지는 않으나 직선에 근접할 경우 r 은 1에 가까운 값을 갖는다. 마지막으로 그래프 상의 모든 데이터 좌표가 골고루 분포하여 직선에 근접하지 않으면 r=0 이 된다. 이것은 두 데이터 집합 간에 선형적인 관계가 전혀 없음을 뜻한다. 상관계수 r 값을 구하기 위해, 먼저 모든 y 값의 평균을 계산하자. 그래프 상에서 y의 평균을 나타내는 직선은 모든 y 값의 중간 정도 높이를 수평으로 지난다. y의 평균을 계산하는 이유는, 평균직선이 해당 데이터를 표현할 수 있는 직선 중 최악의 모델이며, 이를 기준으로 다른 직선을 비교평가 하기 위함이다.
실제값과 평균값의 차이를 구한 후 모두 더하면, 평균의 정의에 의해 값이 0 이 된다.따라서, 이를 해결하기 위해 모든 값을 제곱하여 양수로 만들고 그것을 더한다.
이 값은 위에서 구한 최적함수가 얼마나 적합한지 비교하는 수단으로 사용할 것이다.이 값이 작으면 작을수록 모든 데이터가 평균에 근접하는 것을 의미하고, 클 경우 데이터가 넓게 산포 되어 있음을 뜻한다. 다음으로, 데이터에 최적의 직선 방정식을 사용하여, 각 x 값에 대응하는 ycal 값을 계산하자.
ycal=a+bx...(4-3-2)
동일한 방법으로 측정값과 직선값의 차이 제곱의 총합을 계산한다.
∑(yi-ycal)^2.........(4-3-3)
(4-3-1)과 (4-3-3) 두 식의 단순한 차이가, 그 직선이 데이터들을 표현하기에 얼마나 적합한지 검토하는 방법으로 사용될 수 있다. 두 식을 빼면 다음과 같은 식을 구할 수 있다.
직선 가 평균직선(최악의 모델)만큼 부적합하다면, (4-3-4) 식은 0 이 될 것이다.
직선 가 최적의 직선이라고 하면, 모든 ycal은 yi와 동일하여 (4-3-4) 식은 다음과 같다.
(4-3-4)식을 (4-3-1)식으로 나눈 식이 바로 상관계수 r²이다. (이 과정을 Normalize 한다고 한다.)
이 값은 당연히 0에서 1 사이의 범위를 갖는다.0 에 가까워질수록, 직선이 데이터 분포를 제대로 표현하지 못한다는 것을 뜻하며,1 에 가까워지면 모든 데이터가 직선에 접근함(데이터를 대표하는 최적의 직선임)을 뜻한다. 시각적인 이해를 위해서 아래의 그림을 참고하면,(A)는 r=1 이며, (B)는 r 값이 1에 가깝고, (C)는 r 값이 0 에 가까우며, (D)는 r=0이다.
계산과정 및 결과
<실습 측정각>
CAD 도면
마무리 분석 및 고찰
이번 실험은 임의로 설정한 4개의 꼭짓점을 중심으로 형성된 삼각형 망을 최소제곱법을 이용하여 계산해 내는 것이다.(엄밀조정법) 실험 시 주의해야 할 점들과 오차의 원인은 지난주 보고서에도 작성했지만 간단히 언급해 보면
첫째로 못을 설치할 때 못이 잔디에 묻혀 잘 안보일 수가 있으니 적당한 크기의 종이에 못을 통과시켜 잔디에 설치하여 데오도라이트로 목표물을 시준 할 때 시간을 단축시키는 것이다.
둘째는 데오도라이트를 설치할 때 정준과 구심을 맞추는 것이다. 여기서 정확한 설치를 하지 않게 되면 오차가 발생하게 된다.
셋째는 이미 설치한 못에 접촉을 가하는 행위이다. 잔디에 설치한 못은 견고함이 떨어지기 때문에 작은 힘에도 그 위치가 변할 수 있으므로 가급적 접촉을 피해야 한다. 우리 조는 당시 이러한 오차를 줄이기 위하여 조원 한 명씩 각각의 못 위치에서 못을 손가락으로 가리키며 잘 안 보이는 못의 위치를 정확히 하였고, 못을 가리고 있는 잔디를 살포시 눌러 시준 할 때의 시야를 확보하였다.
이렇게 실험을 통하여 얻어진 데이터를 기반으로 최소제곱법을 이용하여 최종적인 최확값을 얻는 것이 이번 실험의 목표이다. 이번 실험에 사용된 방정식은 조건방정식과 관측방정식이다. 이외에도 매트릭스를 이용하여 최확값을 얻는 방법도 있지만 이번 실험에서는 사용되지 않았다. 우선 관측방적식을 이용하여 최확값을 얻을 수 있는데 이는 3개의 각 관측식을 이용하여 최소제곱법으로 풀어내는 과정이다.
간단히 설명하자면 1번 각 관측식은 1 번각부터 8 번각까지의 모든 각들의 합이 360도를 만족하는 식이다. 2번 각 관측식은 1번 2번 3번 8번의 각합이 180도를 만족하는 식이고 3번 역시 2번식과 마찬가지로 4번 5번 6번 7번의 각합이 180도를 만족하는 식이다. 이 3가지 식을 이용하여 모든 각을 측정할 때 생기는 잔차를 고려하고 이 잔차를 제곱하여 0이 되는 값을 찾아 최소의 오차를 갖는 최확값을 도출해 내는 계산 과정이다.
여기서 조건방정식과 틀린 것은 조건방정식을 이용하면 잔차를 계산해 내기 때문에 조건방정식으로 얻어진 최종적인 잔차를 처음 측정값에 적용하여 최종적으로 수정해 최확값을 얻는데에서 차이가 있다. 어느 방법을 선택해도 결괏값은 똑같아야 하고 우리 조가 계산한 값 역시 같은 값을 얻었다.
관측 방정식과 조건방적식으로 얻어진 두 최확값을 비교해 보면 0.01초에서 0.02초 정도의 오차가 발생하는 이 오차의 원인은 계산기의 유효자릿수에 의한 반올림에서 생기는 오차이다. 이번 실험을 통하여 삼각측량의 원리를 완벽하게 파악할 수 있었고 더불어 측정된 값을 간이조정법에 의한 수정뿐만 아니라 엄밀 조정법에 의한 수정도 계산해 낼 수 있게 되었다.
댓글